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組合證券投資優化模型改進思路
由以上分析可知，Markowitz的證券組合模型建模的前提假設部分失效，模型參數估計的時效性差，風險的定義存在問題，模型計算困難，可操作性差，為了滿足證券投資領域的應用需要，改進Markowitz模型已勢在必行。基于以上分析與結論，本文將以新的思路提出更符合實際的風險度量指標和優化的多目標規劃模型
1.熵值與投資風險的度量。
對于n種證券投資收益率隨機序列r1，r2……rn，設其期望收益率向量為E（r）=（u1u2……un）T服從概率分布P（r=ui）=P（ui），i=1，2……n，定義隨機變量r的熵值為H（r）=-∑P（ui）lg（ui），它表示隨機變量r取每一個ui（i=1，2……n）的平均（依概率平均）不確定性，顯然H（r）越大，表明＆的不確定性越大，反之亦然，我們稱H（r）為r的風險，若r取定值，則H（r）為零，從而無風險，另外，由微分學可知，當P（ri）=1/n（i=1，2……n）時，H（r）取最大值H（r）max=lgn，從而有0≤H（r）≤lgn.
2.考慮交易費用。
Markowitz模型中，各種證券的投資額是以其在總投資金融中所占的比例表示的，是一個相對數，在考慮交易費用的情況下，需要以投資金額的絕對數表示各證券上的投資額。分別以W.，wi（i=1，2……n）表示無風險證券和第i種風險證券的投資金額，分別以A表示證券總投資金額的上限，分別以ξ0、ξi表示投資者已經持有的無風險證券和第i種風險證券的投資金額，分別以c0，ci（i=1，2……n）表示無風險證券和第i種風險證券單位交易額的交易成本，則在當前可決策分配到無風險證券和第i種風險證券的投資金額分別為q0、qi（i=1、2……n）的情況下，交易費用為：∑ci|qi-ξi|，投資收益率為：maxR=（∑wiri-∑ci|qi-ξi|）/∑wi=∑（riwi-ci|qi-εi|）/∑wi
3.引入最小交易單位。
分別以p.、pi表示無風險證券和第i種風險證券最小交易單位的價格，分別以整數x.、xi（i=1，2……n）表示當前決策中無風險證券和第i種風險證券的的投資單位數，分別以雪。、龜（i：1、2……n）表示投資者已經持有的無風險證券和第i種風險證券的單位數，則當前決策分配到無風險證券和第i種風險證券的投資金額Wo、wi（i；1、2……n）可表示為：W；=PⅨ，（i=0、1、2……n）；投資者已經持有的無風險證券和第i種風險證券的投資金額e.、＆（i=1、2……n）。可表示為：ei=n虱。
4.最優模型的確定。
根據Markowitz模型形式有以下兩個證券投資優化模型D與E.
模型D：maxR（r）=[∑（riPixi-ci|PiXi-PiΦi|]/∑Pixi
{-∑P（∑xiri）lgP（∑xiri）≤Hd
S.t{∑Pixi=A
{Xi≥0（i=0、1、2……n）Hd為給定的風險（熵值水平），其他符號意義同前。
模型E：minH（r）=-∑P（∑xiri）1gP（∑xiri）
[∑（riPixi-ci|PiXi-PiΦi|]/∑Pixi≥Rd
{{∑Pixi=A
S.r.{
{Xi≥0（i=0、1、2……n）
Rd為給定的收益率水平，其他符號意義同前。
以上模型等價于模型F.
模型F：maxR（r）=λ[∑（riPixi-ci|PiXi-PiΦi|]/∑Pixi
minH（r）=-（1一λ∑P（∑xiri）1gP（∑xiri）
{∑Pixi=A
S.t.{
{Xi≥0λ是投資者的偏好系數，其他符號意義同模型D、E，當投資者是風險厭惡型的，則取入較大，這就是改進的組合證券最優化模型，在模型建立過程中不僅不需要計算協方差矩陣，而且加入新數據時也容易修改。
