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《質數和合數》課堂教學實錄
一、課前談話
師：今天有很多的人來到這里聽我們上課，你能找到這些人的一個共同特征嗎？
生：他們都是教師。
師：這只是我們的假設，你怎樣去證實這個猜想呢？
生1：找幾個人問一問。
生2：任意找一些人問一問他們是不是老師。
師：如果我們隨機地問了很多人，他們都是老師，我們基本上就可以確定我們的猜想。
師：但是如果有一個人找到了這樣一個共同特征：他們都是男的，你同意嗎？
生：不同意。
師：這是個顯然錯誤的說法，但是你怎樣反駁他呢？
生：我會告訴他，在我身邊就坐著一個女的。
師：這位同學這樣說能夠駁倒剛才的說法了嗎？
生：能。
師：聽課的人中還有其他的女同志，我們還用一個一個找出來嗎？
生：不用了。
師：同學們真聰明，要說明一類事物具有哪些共同的特征，我們可以隨機地抽取一些例子來研究、歸納；而要說明某個說法不成立，我們只要舉出一個反例就可以將它駁倒。比如要說明“都是男的”這個結論是錯誤的，我們只要指出有一個女的就可以了。
師：不知同學們注意沒有，在生活中經常用到的考慮問題的方法，我們在研究數學問題時也時常用到。同學們這么聰明，我相信大家在今天的數學學習中會想出更多的解決問題的好方法。
[評析：看似隨意的談話，卻巧妙地從學生的生活經驗中提取了常用的并恰恰是與本課學習密切相關的兩種思考數學問題的方法。]
二、復習導入
師：前面我們剛剛研究了能被2、5、3整除的數的特征，想一想，我們是怎樣進行研究的？
生1：在研究能被2整除的數的特征時，我們先找出了一些2的倍數，通過觀察，發現它們的個位總是0、2、4、6、8這幾個數。
生2：研究能被5整除的數的特征所用的方法與研究能被2整除的數的特征一樣，也是先找出一些5的倍數，再看它們有什么共同的地方？
生3：研究能被3整除的數的特征的方法也是這樣的。
師：通過對一些具體的數的研究，發現它們的一些共同特征，是我們在研究數的問題時所常用的方法，今天我們仍將運用這樣的方法來認識兩個新的概念：質數和合數（出示課題）
師：看到這個課題，你認為我們今天需要解決哪些問題？
生1：什么樣的數是質數？什么樣的數是合數？
生2：質數與合數有什么關系？
生3：這兩種數與我們前面學的知識有什么關系？
……
[評析：復習中側重對研究數學問題的方法策略的回顧，正是立足于為學生自主建構概念提供準備。對課題的質疑和猜想也事實上使學生完成了一個自主確立學習目標的過程，從而拉開了探究的序幕。]
三、建構概念
1、為探究進行方法定向
師：一個數究竟是質數還是合數，與它所含約數的情況有關，根據你前面研究數的經驗，你打算怎樣去研究今天的問題？
生：首先隨便列舉幾個數，看看它們的約數具有怎樣的規律。
師：對，這是我們最近研究數的問題時經常用的方法，今天我們仍然這樣去做。那么你打算選取哪些數來研究呢？
生1：我打算選擇100以內的所有數。
生2：我打算選擇10、20、30、40、50。
生3：我打算選擇3、30、300、3000、30000。
……
（教師在學生說的過程中有選擇地寫出一些數）
師：同學們的選擇都有自己的一些想法，不過如果去找30000的約數，或者把100以內所有的數的約數都找出來，你覺得怎么樣？
生：太麻煩了！
師：由于時間的關系，我有個建議，我們先從幾個較小的數入手研究，同時也為了我們在研究時能夠互相交流，我們不妨都來選取2—12這幾個數（出示2—12各數），接受我這個建議嗎？
生：接受。
[評析：篩選合適的研究對象，是進行研究的前提，篩選的策略和方法也是整個研究策略的重要組成部分，讓學生經歷對研究對象的篩選過程，為學生日后的自主探究積累了寶貴的經驗。對1的回避使學生在自主探究時盡可能地避免了無關的干擾，教師的主導作用在此得以體現。]
2、寫出2—12各數的約數，初步體驗一個數所含約數的特征
……
3、自主發現中加深對概念的理解
師：請你仔細觀察這些數的約數的情況，從所含約數的情況來看，你覺得哪些數比較特殊？請你把這幾個數劃出來。
（學生活動）
師：請你進一步觀察劃出來的這幾個數，它們有什么相同的地方？
師：把你的發現在小組內與同學交流交流。
（學生小組交流）
師：誰來說一說，你選出了哪幾個數？它們特殊在哪里？
生1：我選擇了12，12的約數最多。
師：與這種想法相同的請舉手。（極少數幾個同學舉手）
生2：我選擇了2、3、5、7、11，它們都只有1和本身兩個約數。
師：與這種想法相同的請舉手。（大多數同學舉手）
生3：我認為每個數都有特殊的地方。
[評析：教者在這里采取了與傳統的簡單分類方法所不同的教學策略——“找出特殊的”，從實際的教學效果看，這一做法無疑使學生的思維與概念的本質更為接近。]
4、選擇合理的分類，歸納概念
師：同學們的幾種選擇都有一定道理，而剛才大多數同學的發現就與我們今天學習的內容密切相關。我們來進一步研究一下這幾個數，在這一類數中（指質數），它們有幾個約數？
生：2個。
師：一個數如果只有兩個約數，那么是哪兩個？
生：1和它本身。
師：這樣的數還有嗎？你能舉出幾個嗎？
……
師：這樣的數有很多很多，象這樣，一個數，如果只有1和它本身兩個約數，這樣的數就叫做質數，它也叫做素數。
（出示定義）
師：這里剩下的這一類數就叫做合數，你能說說看，一個怎么樣的數，叫做合數？
師：把你想到的說法在小組內與同學交流。
（學生小組交流）
師：一個怎么樣的數，叫做合數？誰來說一說？
生1：一個數如果有三個或者三個以上約數，它就是合數。
生2：一個數，如果除了1和它本身外還含有其他的約數，它就叫做合數。
……
師：你還能找到其他的合數嗎？
……
師：剛才有同學列舉了100、30、60，你是怎么發現它們是合數的？它們都有很多的約數，我們有必要將它們都找出來才能判斷是合數嗎？關鍵是看什么？
生：除了1和它本身是否還具有其他約數。
師：像這樣的合數我們寫得完嗎？
生：寫不完。
[評析：“質數”概念的得出立足于學生的自主發現；隨后基于已經構建的“質數”概念，學生又自主構建出“合數”概念；而合數的判斷方法（事實上也是質數的判斷方法）由學生通過對自己例舉合數過程的自我反省提升而來。在這一系列過程中，學生的主體作用得以充分發揮。]
5、完善概念
師：我們看看剛才幾位同學在剛上課時想選擇研究的一些數是什么數？
……
師：我們接著再來看幾個數，如果你認為出現的數是合數，你就站起來，如果你認為是質數，你就坐端正。
（教師依次出示：20、22、37、31、35、29、87、100、1）
……
（當最后出現1時，大多數學生不知所措，有個別學生離開座位蹲在一旁）
師：你們怎么啦？你發現什么問題？
生：1只有一個約數1，它既不是質數也不是合數。
師：1很特殊，比1大的數呢？
生：一個比1大的數至少有兩個約數，因此它不是質數就是合數。
師：在我們所研究的數中，只有1比較特殊，它既不是質數也不是合數，而大于1的數不是質數就是合數。
[評析：精心設計對前面所學知識的鞏固和應用過程，促使學生產生強烈的認知沖突，在教師的巧妙引導下，學生自我完善了概念。]
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