關于函數與方程的知識點總結

　　知識的確是天空中偉大的太陽，它那萬道光芒投下了生命，投下了力量。下面小編給大家分享一些高中數學函數知識點，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!

　　方程的根與函數的零點

　　1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

　　2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：

　　方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點.

　　3、函數零點的求法：

　　求函數的零點：

　　1(代數法)求方程的實數根;

　　2(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點.

　　二次函數的零點：

　　二次函數.

　　1)△>0，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.

　　2)△=0，方程有兩相等實根(二重根)，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點.

　　3)△<0，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點.

　　函數

　　1. 常量與變量

　　數值發生變化的量叫變量，

　　數值始終不變的量叫常量。

　　函數定義：

　　在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。

　　3.函數的圖象：對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象。

　　4.描點法畫圖象的步驟：列表、描點、連線

　　5.函數的三種表示方法：列表法、 解析式法、 圖像法

　　一次函數

　　1.一次函數與正比例函數的概念

　　一次函數：一般地，如果y＝ k x＋b (k、b是常數，k≠0)，那么y叫做x的一次函數。

　　正比例函數：特別地，當b＝____時，一次函數y＝k x＋b變為y＝ _____(k為常數，k≠0)，這時y叫做x的正比例函數。

　　2.分段函數

　　當自變量的取值范圍不同時，函數的解析式也不同，這樣的函數稱為分段函數。

　　3.一次函數的圖象與性質

　　4.用待定系數法求一次函數的解析式

　　求一次函數解析式的一般步驟：

　　（1）先設出函數解析式；

　　（2）根據條件列關于待定系數的方程（組）；

　　（3）解方程（組）求出解析式中未知的系數；

　　（4）把求出的系數代入設的解析式，從而具體寫出這個解析式.這種求解析式的方法 叫待定系數法。

　　5.一次函數與方程、不等式

　　(1)一次函數與一元一次方程

　　求ax+b=0(a，b是常數，a≠0)的解；從“數”的角度看，x為何值時，函數y= ax+b的值為0？

　　求ax+b=0(a, b是常數，a≠0)的解；從“形”的角度看，求直線y= ax+b，與 x 軸交點的橫坐標。

　　(2)一次函數與一元一次不等式

　　解不等式ax+b＞0(a，b是常數，a≠0) ；從“數”的角度看，x為何值時，函數y= ax+b的值大于0？

　　解不等式ax+b＞0(a，b是常數，a≠0) ；從“形”的角度看，求直線y= ax+b在 x軸

　　上方的部分（射線）所對應的橫坐標的取值范圍。

　　(3)一次函數與二元一次方程組

　　一般地，任何一個二元一次方程都可以轉化為一次函數y=kx+b(k、b為常數，且k≠0)的形式，所以每個二元一次方程都對應一個一次函數，也對應一條直線。

　　方程組的解 =對應兩條直線交點的坐標。

　　方法總結：

　　1.利用函數的圖象解決實際問題，正確理解函數圖象橫縱坐標表示的意義，理解問題的過程，能夠通過圖象得到函數問題的相應解決．

　　2.一次函數的圖象與y軸交點的縱坐標就是y=kx+b中b的值；兩條直線平行，其函數解析式中的自變量系數k相等；當k＞0時，y隨x的增大而增大；當k＜0時，y隨x的增大而減小.

　　3.一次函數與一元一次不等式，從函數的角度看，就是尋求一次函數y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.

　　4.用一次函數解決實際問題，先理解清楚題意，把文字語言轉化為數學語言，列出相應的不等式（方程），若是方案選擇問題，則要求出自變量在取不同值時所對應的函數值，判斷其大小關系，結合實際需求，選擇最佳方案.

　　高中數學函數的奇偶性

　　1.函數的奇偶性

　　(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x);

　　(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則f(0)=0(可用于求參數);

　　(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

　　(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;

　　(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;

　　2.復合函數

　　(1)復合函數定義域求法：若已知的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。

　　(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;

　　3.函數圖像(或方程曲線的對稱性)

　　(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;

　　(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;

　　(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

　　(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

　　(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;

　　(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x=對稱;

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　　4.函數的周期性

　　(1)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;

　　(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;

　　(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;

　　(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2的周期函數;

　　(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2的周期函數;

　　(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2的周期函數;

　　5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域);

　　6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

　　7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

　　(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

　　(3)logab的符號由口訣“同正異負”記憶;

　　(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

　　8.判斷對應是否為映射時，抓住兩點：

　　(1)A中元素必須都有象且唯一;

　　(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

　　9.能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。

　　10.對于反函數，應掌握以下一些結論：

　　(1)定義域上的單調函數必有反函數;

　　(2)奇函數的反函數也是奇函數;

　　(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;

　　(4)周期函數不存在反函數;

　　(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;

　　(6)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

　　11.處理二次函數的問題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系;

　　12.依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題;

　　13.恒成立問題的處理方法：(1)分離參數法;(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解。

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