高中函數解題技巧

　　在高中生在做關于函數的題目時，需要進行解題，那么都有哪些相關的解題技巧呢？下面是小編分享給大家的高中函數解題技巧，希望對大家有幫助。

　　一。觀察法

　　通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。

　　例1求函數y=3+√（2—3x） 的值域。

　　點撥：根據算術平方根的性質，先求出√（2—3x） 的值域。

　　解：由算術平方根的性質，知√（2—3x）≥0，

　　故3+√（2—3x）≥3。

　　∴函數的知域為 。

　　點評：算術平方根具有雙重非負性，即：（1）被開方數的非負性，（2）值的非負性。

　　本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。

　　練習：求函數y=[x]（0≤x≤5）的值域。（答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝）

　　二。反函數法

　　當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。

　　例2求函數y=（x+1）/（x+2）的值域。

　　點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。

　　解：顯然函數y=（x+1）/（x+2）的反函數為：x=（1—2y）/（y—1），其定義域為y≠1的實數，故函數y的值域為{y？y≠1，y∈R｝。

　　點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想，是數學解題的重要方法之一。

　　練習：求函數y=（10x+10—x）/（10x—10—x）的值域。（答案：函數的值域為{y？y<—1或y>1｝）

　　三。配方法

　　當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時，可以利用配方法求函數值域

　　例3：求函數y=√（—x2+x+2）的值域。

　　點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的最值求。

　　解：由—x2+x+2≥0，可知函數的定義域為x∈[—1，2]。此時—x2+x+2=—（x—1/2）2+9/4∈[0，9/4]

　　∴0≤√—x2+x+2≤3/2，函數的值域是[0，3/2]

　　點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用，而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要的思想方法。

　　練習：求函數y=2x—5+√15—4x的值域。（答案：值域為{y？y≤3}）

　　四。判別式法

　　若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數，可用判別式法求函數的值域。

　　例4求函數y=（2x2—2x+3）/（x2—x+1）的值域。

　　點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。

　　解：將上式化為（y—2）x2—（y—2）x+（y—3）=0 （*）

　　當y≠2時，由Δ=（y—2）2—4（y—2）x+（y—3）≥0，解得：2

　　當y=2時，方程（*）無解�！嗪瘮档闹涤驗�2

　　點評：把函數關系化為二次方程F（x，y）=0，由于方程有實數解，故其判別式為非負數，可求得函數的值域。常適應于形如y=（ax2+bx+c）/（dx2+ex+f）及y=ax+b±√（cx2+dx+e）的函數。

　　練習：求函數y=1/（2x2—3x+1）的值域。（答案：值域為y≤—8或y>0）。

　　五。最值法

　　對于閉區間[a，b]上的連續函數y=f（x），可求出y=f（x）在區間[a，b]內的極值，并與邊界值f（a）。f（b）作比較，求出函數的最值，可得到函數y的值域。

　　例5已知（2x2—x—3）/（3x2+x+1）≤0，且滿足x+y=1，求函數z=xy+3x的值域。

　　點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。

　　解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2—x—3≤0同解，解之得—1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1—x代入z=xy+3x中，得z=—x2+4x（—1≤x≤3/2），

　　∴z=—（x—2）2+4且x∈[—1，3/2]，函數z在區間[—1，3/2]上連續，故只需比較邊界的大小。

　　當x=—1時，z=—5;當x=3/2時，z=15/4。

　　∴函數z的值域為{z？—5≤z≤15/4｝。

　　點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間，若存在最值，也可通過求出最值而獲得函數的值域。

　　練習：若√x為實數，則函數y=x2+3x—5的值域為 （ ）

　　A。（—∞，+∞） B。[—7，+∞] C。[0，+∞） D。[—5，+∞）

　�。ù鸢福篋）。

　　六。圖象法

　　通過觀察函數的圖象，運用數形結合的方法得到函數的值域。

　　例6求函數y=？x+1？+√（x—2）2 的值域。

　　點撥：根據絕對值的意義，去掉符號后轉化為分段函數，作出其圖象。

　　解：原函數化為 —2x+1 （x≤1）

　　y= 3 （—1

　　2x—1（x>2）

　　它的圖象如圖所示。

　　顯然函數值y≥3，所以，函數值域[3，+∞]。

　　點評：分段函數應注意函數的端點。利用函數的圖象

　　求函數的值域，體現數形結合的思想。是解決問題的重要方法。

　　求函數值域的方法較多，還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域。

　　七。單調法

　　利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

　　例1求函數y=4x—√1—3x（x≤1/3）的值域。

　　點撥：由已知的函數是復合函數，即g（x）= —√1—3x，y=f（x）+g（x），其定義域為x≤1/3，在此區間內分別討論函數的增減性，從而確定函數的值域。

　　解：設f（x）=4x，g（x）= —√1—3x ，（x≤1/3），易知它們在定義域內為增函數，從而y=f（x）+g（x）= 4x—√1—3x

　　在定義域為x≤1/3上也為增函數，而且y≤f（1/3）+g（1/3）=4/3，因此，所求的函數值域為{yy≤4/3｝。

　　點評：利用單調性求函數的值域，是在函數給定的區間上，或求出函數隱含的區間，結合函數的增減性，求出其函數在區間端點的函數值，進而可確定函數的值域。

　　練習：求函數y=3+√4—x 的值域。（答案：{yy≥3｝）

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