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人教A版教材《必修4》三角函數(shù)教學(xué)后
1. 依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)做好教學(xué)上整體的頂層設(shè)計(jì)
（1）必修1后接著學(xué)習(xí)必修4有利于對(duì)基本初等函數(shù)有一個(gè)系統(tǒng)掌握。函數(shù)是初中階段學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，但初中是用變量與變量間關(guān)系來(lái)介紹函數(shù)概念的，其重點(diǎn)是研究函數(shù)解析式；而高中的函數(shù)概念則是在映射觀點(diǎn)下的對(duì)應(yīng)學(xué)，是建立在非空數(shù)集之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。它的表現(xiàn)形式除解析式外，還可以運(yùn)用圖象或列表。它的核心是三要素――定義域，對(duì)應(yīng)法則及值域，而且函數(shù)可由定義域和對(duì)應(yīng)法則完全確定。在此基礎(chǔ)上我們還研究了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性等性質(zhì)，還學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)三種新的基本初等函數(shù)。回頭我們還用它們進(jìn)一步理解了函數(shù)的概念。但對(duì)于函數(shù)概念理解難以達(dá)到完美，這樣需要我們學(xué)習(xí)另一類基本初等函數(shù)――三角函數(shù)。與其他函數(shù)相比它是具有很多重要的特征，它以角為自變量，是周期函數(shù)，同時(shí)也是解決其他函數(shù)問(wèn)題的重要工具，與后續(xù)學(xué)習(xí)的很多內(nèi)容有聯(lián)系，是深化函數(shù)性質(zhì)的極好教材。因此，接著必修1后學(xué)習(xí)必修4讓我們對(duì)基本初等函數(shù)有一個(gè)整體掌握，形成一串牢固的知識(shí)鏈條。
2. 第一章三角函數(shù)部分知識(shí)點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)與生成后的思考
（1）任意角的三角函數(shù)的概念。三角函數(shù)概念的發(fā)展前后經(jīng)歷了4000多年，就初、高中教材體系而言，首先初中是把正弦、余弦、正切定義為直角三角形的邊長(zhǎng)之比。因此，初中討論“三角函數(shù)”僅限于三角形內(nèi)的三角函數(shù)。它解決的問(wèn)題限于平面圖形相關(guān)的幾何問(wèn)題。由于我們不能把任意角的三角函數(shù)看成銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），所以在高中學(xué)習(xí)的任意角三角函數(shù)內(nèi)容應(yīng)該是以函數(shù)的眼光對(duì)待，把對(duì)它的學(xué)習(xí)作為理解函數(shù)一些性質(zhì)，如周期性。強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)是用于刻畫(huà)生產(chǎn)生活中周期性發(fā)生變化的一個(gè)經(jīng)典模型。為了建立角度集合與實(shí)數(shù)集間的一個(gè)對(duì)應(yīng)，教材引入了弧度制。接下來(lái)就用單位圖給出了任意角的三角函數(shù)。教學(xué)中，大多數(shù)教師從給學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)定義入手，然后讓學(xué)生考慮如何將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)，這樣的方式會(huì)使學(xué)生覺(jué)得任意三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的一種推廣。這樣方法會(huì)有以下不足：①?zèng)]有講明高、初中學(xué)習(xí)的三角函數(shù)研究方法本質(zhì)上不同，容易引起概念的混淆。②沒(méi)有利用好單位圖。其實(shí)單位圖是函數(shù)周期性的一個(gè)很好體現(xiàn)，它是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)逐步認(rèn)識(shí)三角函數(shù)周期性的重要模型。
理解三角函數(shù)概念我們要多視角，如幾何的、代數(shù)的、解析的等。教師的教學(xué)也不能將三角函數(shù)概念理解局限于一節(jié)課，一個(gè)章節(jié)里，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)更是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，因而在整個(gè)單元教學(xué)中應(yīng)做到反復(fù)重視學(xué)生對(duì)任意角的三角函數(shù)概念理解的情況，從而達(dá)到對(duì)函數(shù)概念理解的又一次升華。
（2）正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)。我們知道，實(shí)數(shù)集與角的集合之間可以運(yùn)用度與弧度的互化建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。而一個(gè)確定的角又對(duì)應(yīng)著唯一確定的正弦（或余弦）值，于是，給一個(gè)實(shí)數(shù)x，有唯一確定的值sinx （或cosx）與之對(duì)應(yīng)，由這個(gè)對(duì)應(yīng)法則所確定的函數(shù)y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)），其定義域?yàn)镽。
《必修4》在講述三角函數(shù)后，將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)作為正弦（型）函數(shù)圖象的教學(xué)情景和應(yīng)用。而普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)在選修模塊《選修3-4》才介紹簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。顯然，高一物理課程不講授簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因此，高一第一學(xué)期教授學(xué)生三角函數(shù)時(shí)，將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)作為正弦（型）函數(shù)圖象的教學(xué)情景應(yīng)用就不合適了。為此，我們采用圓周運(yùn)動(dòng)或教室里日光燈的電流強(qiáng)度隨時(shí)間變化的規(guī)律作為教學(xué)的情景，因?yàn)樗鼈兊淖兓汲尸F(xiàn)了周期性規(guī)律。
通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)或例子，對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象形成一個(gè)較直觀的印象后，我們運(yùn)用單位圖中的正弦線來(lái)畫(huà)比較精確的正弦函數(shù)圖象。在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，為了培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和實(shí)踐操作能力，首先我們課前設(shè)計(jì)了一個(gè)3～4分鐘時(shí)間可播放完的“微視頻”，將運(yùn)用單位圖中的正弦線畫(huà)正弦函數(shù)圖象分步展示給同學(xué)。在實(shí)驗(yàn)操作完備后展示給同學(xué)們課堂上集中觀看“微視頻”。當(dāng)視頻播放結(jié)束后，我們把預(yù)先設(shè)計(jì)好并打印的坐標(biāo)紙發(fā)給每一個(gè)學(xué)生，給學(xué)生5分鐘時(shí)間完成用單位圖中的正弦線作y=sinx，x∈[0，2π]， 的圖象。當(dāng)時(shí)學(xué)生表現(xiàn)出十分高的學(xué)習(xí)熱情。制圖完成后抽樣展示時(shí)發(fā)現(xiàn)都完成得十分認(rèn)真。當(dāng)老師再此提出如何獲得y=sinx，x ∈R的圖象時(shí)，絕大多數(shù)同學(xué)能回答出將圖象左、右平移（每次2π個(gè)單位長(zhǎng)度）即可。這都是前面的實(shí)驗(yàn)呈現(xiàn)出重復(fù)次數(shù)的周期性規(guī)律的成果。至于由y=sinx，x∈R的圖象獲得y=cosx，x∈R的圖象，學(xué)生們還回答出通過(guò)單位圖中余弦線或由公式cosx=sin，將y=sinx向左平移即得。
當(dāng)然，這堂課的最后成果不僅僅是獲得正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，而是從圖象上觀察出5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)決定正弦函數(shù)和與弦函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期內(nèi)的圖象，如y=sinx，x∈[0，2π] 的圖象上起關(guān)鍵作用的點(diǎn)為（0，0），（π，0），（2π，0），在精確度要求不太高時(shí)，找出了這五個(gè)點(diǎn)，再用光滑曲線連接，就可以得到函數(shù)的簡(jiǎn)圖。這就形成了今后我們研究正弦（型）和余弦（型）函數(shù)圖象簡(jiǎn)圖的通法“五點(diǎn)法”。本堂課產(chǎn)生知識(shí)環(huán)節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)是：實(shí)驗(yàn)―嘗試―探究―提煉。四步驟體系新課程標(biāo)準(zhǔn)課堂教學(xué)以學(xué)生為本，以學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)為本的理念。貫穿于教學(xué)全過(guò)程就是教師主體引導(dǎo)下的學(xué)生主體活動(dòng)由淺入深地連續(xù)開(kāi)展，更符合運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的手段研究函數(shù)的一般規(guī)律。 （3）函數(shù)y=Asin（？Ax+？漬）的圖象。在A>0，？A>0的條件下，如何由y=sinx 的圖象經(jīng)變換獲得y=Asin（？Ax+？漬）的圖象呢？教材上在探究每種變換時(shí)，并沒(méi)有用具體例子通過(guò)人工畫(huà)圖象后提煉規(guī)律，而是運(yùn)用電腦軟件――幾何畫(huà)板的功能代替了，這樣過(guò)程令學(xué)生眼花繚亂，其變換規(guī)律難以體驗(yàn)到位。因此，在我們的教學(xué)中，對(duì)于每種變換我們均設(shè)計(jì)例子并引導(dǎo)學(xué)生在課堂上動(dòng)手用五點(diǎn)法操作，然后再結(jié)合電腦動(dòng)畫(huà)進(jìn)一步體驗(yàn)規(guī)律。這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)表面上因讓學(xué)生動(dòng)手操作花了一些時(shí)間而“降低了”課堂效益，其實(shí)際上經(jīng)學(xué)生動(dòng)手的過(guò)程體驗(yàn)而形成了理解性的知識(shí)規(guī)律，最后引導(dǎo)學(xué)生探討“圖象變換”法的具體過(guò)程。如何由y=sinx的圖象經(jīng)歷平移變換和伸縮變換得到y(tǒng)=Asin （？Ax+？漬）的圖象，每經(jīng)歷一部變換，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)須作相應(yīng)的變換，每一步變換卻抓住了這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，得到的簡(jiǎn)圖就可據(jù)“五點(diǎn)法”畫(huà)出。這樣學(xué)生不但掌握了研究這類函數(shù)圖象的兩類方法，而且了解了兩類方法各自作用和互相聯(lián)系性。
3. 教學(xué)后的啟示與反思
（1）數(shù)學(xué)教師應(yīng)該具有獨(dú)立處理教材，研究并合理運(yùn)用好教材的能力，而不是照本宣科。隨著新課程改革向縱深發(fā)展，從傳統(tǒng)的“教教材”到現(xiàn)在的“用教材教”理念的轉(zhuǎn)變已經(jīng)深入人心。教材僅是課程標(biāo)準(zhǔn)下提供給教師教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的一個(gè)重要載體，但不是唯一載體。
在教學(xué)中，我們既考慮如何充分利用好教材，但又不能被教材所困。這就是需要吃透課程標(biāo)準(zhǔn)的前提下深入研究并發(fā)現(xiàn)學(xué)科知識(shí)本質(zhì)的東西，尤其是考慮到“因材施教”，對(duì)于教材一些“啟”而未“發(fā)”的內(nèi)容，我們可考慮重新按認(rèn)知觀設(shè)計(jì)教學(xué)，教師做到對(duì)教材上一些概念、定理、公式、法則充分理解的前提下傳授給學(xué)生。比如：在研究三角函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，學(xué)生總是吃不透函數(shù)單調(diào)性概念必須指明在特定的區(qū)間上，二者不可分割。因此出現(xiàn)有的同學(xué)提出y=sinx，x∈R在第一象限內(nèi)是增函數(shù)問(wèn)題時(shí)，教師必須強(qiáng)調(diào)象限角不是區(qū)間角，二者不能等同。我以y=在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)分別是減函數(shù)，而不能講y=在其他定義域內(nèi)是減函數(shù)為例，考慮它的定義域已經(jīng)不是獨(dú)立的區(qū)間了。文章第二部分提到幾個(gè)問(wèn)題，也正好是體現(xiàn)了“用教材教”的理念。
（2）教學(xué)設(shè)計(jì)與生成應(yīng)熟悉基本課型，規(guī)范操作須始終把學(xué)生的發(fā)展擺在首位。教學(xué)工作的主陣地是課堂。因此，學(xué)科教學(xué)能力是任何一個(gè)數(shù)學(xué)教師必須具備的基本能力。通常說(shuō)教學(xué)有法，教無(wú)定法。所謂“有法”就是指教學(xué)應(yīng)遵循一定教學(xué)規(guī)律與原則，每位數(shù)學(xué)教師應(yīng)對(duì)新課程標(biāo)準(zhǔn)下高中數(shù)學(xué)教學(xué)基本課型“概念課”“習(xí)題課”“復(fù)習(xí)課”等進(jìn)行系統(tǒng)梳理與探究，形成個(gè)人課堂教學(xué)的風(fēng)格，而“教無(wú)定法”則是將其運(yùn)用在具體課時(shí)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)與生成時(shí)做到“因時(shí)制宜”靈活使用。
如何在教師的教學(xué)工作中，始終將學(xué)生的發(fā)展放在首位？我想必須從以下幾點(diǎn)入手：①在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)教師必須站在教學(xué)者的角色上，按知識(shí)產(chǎn)生發(fā)展及生成的認(rèn)知規(guī)律去思考教學(xué)的基本環(huán)節(jié)；②教學(xué)生成做到問(wèn)題引入盡量給出合適的情景，探究知識(shí)過(guò)程中通過(guò)預(yù)設(shè)好適合的問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生充分思考后步步為營(yíng)朝知識(shí)產(chǎn)生的路徑推進(jìn)，切忌用師生交流替代生生間交流，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中同伴互助的團(tuán)隊(duì)精神，以達(dá)到既學(xué)習(xí)到學(xué)科知識(shí)，又提升了學(xué)科學(xué)習(xí)的文化素養(yǎng)，從而形成較完美的學(xué)習(xí)過(guò)程。尤其是課堂結(jié)束時(shí)的總結(jié)，更適合在學(xué)生間的交流與對(duì)話中形成，從而全面培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力；③作為課堂學(xué)習(xí)的延伸，教師在布置學(xué)生課外作業(yè)時(shí)，一方面要做到基礎(chǔ)性與綜合性比例適當(dāng)，重視課本習(xí)題在鞏固知識(shí)與方法的基礎(chǔ)作用和引領(lǐng)作用，對(duì)于教輔上的習(xí)題，必須做到適當(dāng)?shù)娜∩幔紤]到學(xué)生層次差異可布置適合每層學(xué)生發(fā)展的習(xí)題；另一方面必須留出時(shí)間給學(xué)生對(duì)明天學(xué)習(xí)內(nèi)容的預(yù)習(xí)，必要時(shí)可給學(xué)生提供學(xué)習(xí)新知的自學(xué)提綱或突破知識(shí)學(xué)習(xí)重難點(diǎn)的“微視頻”，以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生預(yù)習(xí)的靈動(dòng)性，服務(wù)于明天的課堂。
（3）科學(xué)又適時(shí)的教學(xué)評(píng)價(jià)為師生教與學(xué)提供反思的素材。數(shù)學(xué)教師應(yīng)立足工作實(shí)際，關(guān)注常態(tài)課堂。對(duì)于每一堂課，課前應(yīng)認(rèn)真進(jìn)行教學(xué)目標(biāo)分析，教學(xué)重難點(diǎn)確立，教學(xué)環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)，板書(shū)合理設(shè)計(jì)等工作。同時(shí)在教學(xué)生成過(guò)程中，要適時(shí)用好學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程性評(píng)價(jià)，特別關(guān)注學(xué)生課堂上主動(dòng)思考后參與教師設(shè)問(wèn)的回答。參加課堂上學(xué)習(xí)小組的研討與交流及課堂上在教師指導(dǎo)下的練習(xí)成果展示，尤其是課堂上練習(xí)的評(píng)價(jià)，教師可改過(guò)去一問(wèn)一答的方式，而是通過(guò)一定數(shù)量的抽查，借助網(wǎng)絡(luò)直接傳送到教室媒體給大家展示，展示后的現(xiàn)場(chǎng)點(diǎn)評(píng)也無(wú)須由教師一個(gè)人包辦，可請(qǐng)同學(xué)上臺(tái)點(diǎn)評(píng)并說(shuō)出自己的不同想法，讓整個(gè)課堂都動(dòng)起來(lái)。通過(guò)這種過(guò)程性評(píng)價(jià)，極大調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)能力，教師適時(shí)做好活動(dòng)后的推手，讓活動(dòng)在不斷培養(yǎng)學(xué)習(xí)成功的成就感中風(fēng)聲水起，學(xué)習(xí)過(guò)程的反思就會(huì)在這種全員參與過(guò)程中落到實(shí)處。上述活動(dòng)是否能達(dá)到目的，其中一個(gè)關(guān)鍵就是在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)必須設(shè)計(jì)好檢驗(yàn)學(xué)生學(xué)習(xí)狀況的目標(biāo)檢測(cè)題，在這些檢測(cè)題命制時(shí)是否領(lǐng)會(huì)了蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。因此，命制目標(biāo)檢測(cè)題必須圍繞教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重點(diǎn)，更要體現(xiàn)試題層次性，如：研究y=Asin 圖象時(shí)，第一層次是“五點(diǎn)法”畫(huà)出它的圖象，屬基本題；第二層次是“變換法”由y=sinx圖象經(jīng)變換后得出它的圖象；第三層次則是逆向設(shè)計(jì)，即如何由y=Asin 的圖象經(jīng)變換得出y=sinx的圖象或者已知y=Asin 的圖象經(jīng)若干次線性變換后的解析式，求原函數(shù)y=Asin 的解析式，從而訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維式發(fā)散性思維，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維碎片的提升。
另一種評(píng)價(jià)就是形成性評(píng)價(jià)。這里包括每天課后作業(yè)和單元章節(jié)形成性檢測(cè)。我們?cè)诒匦弈K教學(xué)頂層設(shè)計(jì)時(shí)，特別要求在每一章節(jié)學(xué)習(xí)后必須隨堂進(jìn)行形成性檢測(cè)，設(shè)計(jì)試題強(qiáng)調(diào)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法的考查，尤其注重學(xué)生的知識(shí)鏈和方法串的系統(tǒng)性考查。因?yàn)楸匦弈K是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系的基礎(chǔ)，試題大部分都是以課本上課后練習(xí)題和習(xí)題為素材，經(jīng)過(guò)適度加工、變式，同時(shí)還包括課本上一些重要基礎(chǔ)知識(shí)原生態(tài)出現(xiàn)在試題中。這樣“接地氣”的試題考試效果更具有實(shí)效性，容易準(zhǔn)確地發(fā)覺(jué)問(wèn)題出現(xiàn)在知識(shí)上還是方法上。這樣考試后教師可通過(guò)試卷整體分析找到教學(xué)上的不足，學(xué)生更能從錯(cuò)誤反思中真實(shí)發(fā)覺(jué)自己學(xué)習(xí)上的學(xué)習(xí)水平差距，特別讓學(xué)生能夠從學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法、自主學(xué)習(xí)水平等方面悟清悟透。從而達(dá)到后續(xù)學(xué)習(xí)中學(xué)生逐步學(xué)會(huì)如何規(guī)劃自己的學(xué)習(xí)，如何抓牢知識(shí)系統(tǒng)掌握這一主業(yè)，通過(guò)階段性學(xué)習(xí)的目標(biāo)檢測(cè)不斷完善自己的學(xué)習(xí)方式和適應(yīng)未來(lái)的學(xué)習(xí)。
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