高中導數知識點總結
總結是在某一時期、某一項目或某些工作告一段落或者全部完成后進行回顧檢查、分析評價,從而得出教訓和一些規律性認識的一種書面材料,他能夠提升我們的書面表達能力,不如立即行動起來寫一份總結吧。但是卻發現不知道該寫些什么,下面是小編收集整理的高中導數知識點總結,僅供參考,大家一起來看看吧。
高中導數知識點總結1
(一)導數第一定義
設函數 y = f(x) 在點 x0 的某個領域內有定義,當自變量 x 在 x0 處有增量 △x ( x0 + △x 也在該鄰域內 ) 時,相應地函數取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果 △y 與 △x 之比當 △x→0 時極限存在,則稱函數 y = f(x) 在點 x0 處可導,并稱這個極限值為函數 y = f(x) 在點 x0 處的導數記為 f'(x0) ,即導數第一定義
(二)導數第二定義
設函數 y = f(x) 在點 x0 的某個領域內有定義,當自變量 x 在 x0 處有變化 △x ( x - x0 也在該鄰域內 ) 時,相應地函數變化 △y = f(x) - f(x0) ;如果 △y 與 △x 之比當 △x→0 時極限存在,則稱函數 y = f(x) 在點 x0 處可導,并稱這個極限值為函數 y = f(x) 在點 x0 處的導數記為 f'(x0) ,即 導數第二定義
(三)導函數與導數
如果函數 y = f(x) 在開區間 I 內每一點都可導,就稱函數f(x)在區間 I 內可導。這時函數 y = f(x) 對于區間 I 內的`每一個確定的 x 值,都對應著一個確定的導數,這就構成一個新的函數,稱這個函數為原來函數 y = f(x) 的導函數,記作 y', f'(x), dy/dx, df(x)/dx。導函數簡稱導數。
(四)單調性及其應用
1.利用導數研究多項式函數單調性的一般步驟
(1)求f(x)
(2)確定f(x)在(a,b)內符號 (3)若f(x)>0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是增函數;若f(x)<0在(a,b)上恒成立,則f(x)在(a,b)上是減函數
2.用導數求多項式函數單調區間的一般步驟
(1)求f(x)
(2)f(x)>0的解集與定義域的交集的對應區間為增區間; f(x)<0的解集與定義域的交集的對應區間為減區間
學習了導數基礎知識點,接下來可以學習高二數學中涉及到的導數應用的部分。
高中導數知識點總結2
★高中數學導數知識點
一、早期導數概念————特殊的形式大約在1629年法國數學家費馬研究了作曲線的切線和求函數極值的方法1637年左右他寫一篇手稿《求最大值與最小值的方法》。在作切線時他構造了差分f(A+E)—f(A),發現的因子E就是我們所說的導數f(A)。
二、17世紀————廣泛使用的“流數術”17世紀生產力的發展推動了自然科學和技術的發展在前人創造性研究的基礎上大數學家牛頓、萊布尼茨等從不同的角度開始系統地研究微積分。牛頓的微積分理論被稱為“流數術”他稱變量為流量稱變量的變化率為流數相當于我們所說的導數。牛頓的有關“流數術”的主要著作是《求曲邊形面積》、《運用無窮多項方程的計算法》和《流數術和無窮級數》流數理論的實質概括為他的重點在于一個變量的函數而不在于多變量的方程在于自變量的變化與函數的變化的比的構成最在于決定這個比當變化趨于零時的極限。
三、19世紀導數————逐漸成熟的理論1750年達朗貝爾在為法國科學家院出版的《百科全書》第五版寫的“微分”條目中提出了關于導數的一種觀點可以用現代符號簡單表示{dy/dx)=lim(oy/ox)。1823年柯西在他的.《無窮小分析概論》中定義導數如果函數y=f(x)在變量x的兩個給定的界限之間保持連續并且我們為這樣的變量指定一個包含在這兩個不同界限之間的值那么是使變量得到一個無窮小增量。19世紀60年代以后魏爾斯特拉斯創造了ε—δ語言對微積分中出現的各種類型的極限重加表達導數的定義也就獲得了今天常見的形式。
四、實無限將異軍突起微積分第二輪初等化或成為可能微積分學理論基礎大體可以分為兩個部分。一個是實無限理論即無限是一個具體的東西一種真實的存在另一種是潛無限指一種意識形態上的過程比如無限接近。就歷史來看兩種理論都有一定的道理。其中實無限用了150年后來極限論就是現在所使用的。光是電磁波還是粒子是一個物理學長期爭論的問題后來由波粒二象性來統一。微積分無論是用現代極限論還是150年前的理論都不是最好的手段。
★高中數學導數要點
1、求函數的單調性:
利用導數求函數單調性的基本方法:設函數yf(x)在區間(a,b)內可導,(1)如果恒f(x)0,則函數yf(x)在區間(a,b)上為增函數;(2)如果恒f(x)0,則函數yf(x)在區間(a,b)上為減函數;(3)如果恒f(x)0,則函數yf(x)在區間(a,b)上為常數函數。
利用導數求函數單調性的基本步驟:①求函數yf(x)的定義域;②求導數f(x);③解不等式f(x)0,解集在定義域內的不間斷區間為增區間;④解不等式f(x)0,解集在定義域內的不間斷區間為減區間。
反過來,也可以利用導數由函數的單調性解決相關問題(如確定參數的取值范圍):設函數yf(x)在區間(a,b)內可導,
(1)如果函數yf(x)在區間(a,b)上為增函數,則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構成區間);
(2)如果函數yf(x)在區間(a,b)上為減函數,則f(x)0(其中使f(x)0的x值不構成區間);
(3)如果函數yf(x)在區間(a,b)上為常數函數,則f(x)0恒成立。
2、求函數的極值:
設函數yf(x)在x0及其附近有定義,如果對x0附近的所有的點都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0)),則稱f(x0)是函數f(x)的極小值(或極大值)。
可導函數的極值,可通過研究函數的單調性求得,基本步驟是:
(1)確定函數f(x)的定義域;(2)求導數f(x);(3)求方程f(x)0的全部實根,x1x2xn,順次將定義域分成若干個小區間,并列表:x變化時,f(x)和f(x)值的
變化情況:
(4)檢查f(x)的符號并由表格判斷極值。
3、求函數的最大值與最小值:
如果函數f(x)在定義域I內存在x0,使得對任意的xI,總有f(x)f(x0),則稱f(x0)為函數在定義域上的最大值。函數在定義域內的極值不一定唯一,但在定義域內的最值是唯一的。
求函數f(x)在區間[a,b]上的最大值和最小值的步驟:(1)求f(x)在區間(a,b)上的極值;
(2)將第一步中求得的極值與f(a),f(b)比較,得到f(x)在區間[a,b]上的最大值與最小值。
4、解決不等式的有關問題:
(1)不等式恒成立問題(絕對不等式問題)可考慮值域。
f(x)(xA)的值域是[a,b]時,
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)max0,即b0;
不等式f(x)0恒成立的充要條件是f(x)min0,即a0。
f(x)(xA)的值域是(a,b)時,
不等式f(x)0恒成立的充要條件是b0;不等式f(x)0恒成立的充要條件是a0。
(2)證明不等式f(x)0可轉化為證明f(x)max0,或利用函數f(x)的單調性,轉化為證明f(x)f(x0)0。
5、導數在實際生活中的應用:
實際生活求解最大(小)值問題,通常都可轉化為函數的最值。在利用導數來求函數最值時,一定要注意,極值點唯一的單峰函數,極值點就是最值點,在解題時要加以說明。
高中導數知識點總結3
數學選修2-2導數及其應用知識點必記
1.函數的平均變化率是什么?答:平均變化率為
f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1:其中x是自變量的改變量,可正,可負,可零。
注2:函數的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。
2、導函數的概念是什么?
答:函數yf(x)在xx0處的瞬時變化率是limf(x0x)f(x0)y,則稱limx0xx0x函數yf(x)在點x0處可導,并把這個極限叫做yf(x)在x0處的導數,記作f"(x0)或y"|xx0,即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x
3.平均變化率和導數的幾何意義是什么?
答:函數的平均變化率的幾何意義是割線的斜率;函數的導數的幾何意義是切線的斜率。
4導數的背景是什么?
答:(1)切線的斜率;(2)瞬時速度;(3)邊際成本。
5、常見的函數導數和積分公式有哪些?函數導函數不定積分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx
6、常見的導數和定積分運算公式有哪些?答:若fx,gx均可導(可積),則有:和差的導數運算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)積的導數運算特別地:Cfx"Cf"x商的導數運算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特別地:"2gxgx復合函數的導數yxyuux微積分基本定理fxdxab(其中F"xfx)和差的積分運算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特別地:積分的區間可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k為常數)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb
7.用導數求函數單調區間的步驟是什么?答:①求函數f(x)的導數f"(x)
②令f"(x)>0,解不等式,得x的范圍就是遞增區間.③令f"(x)
8.利用導數求函數的最值的步驟是什么?
答:求f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下:⑴求f(x)在a,b上的極值;
⑵將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值。
注:實際問題的開區間唯一極值點就是所求的最值點;
9.求曲邊梯形的思想和步驟是什么?
答:分割近似代替求和取極限(“以直代曲”的思想)
10.定積分的性質有哪些?
根據定積分的定義,不難得出定積分的如下性質:
11.
ababbbbb性質5若f(x)0,xa,b,則f(x)dx0
①推廣:[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)
aaaa②推廣:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx
aac1ckbc1c2b11定積分的取值情況有哪幾種?
答:定積分的值可能取正值,也可能取負值,還可能是0.
(l)當對應的曲邊梯形位于x軸上方時,定積分的值取正值,且等于x軸上方的圖形面積;
(2)當對應的曲邊梯形位于x軸下方時,定積分的值取負值,且等于x軸上方圖形面積的相反數;
(3)當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時,定積分的值為0,且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積.
12.物理中常用的微積分知識有哪些?答:(1)位移的導數為速度,速度的導數為加速度。(2)力的積分為功。
數學選修2-2推理與證明知識點必記
13.歸納推理的定義是什么?答:從個別事實中推演出一般性的結論,像這樣的推理通常稱為歸納推理。歸納推理是由部分到整體,由個別到一般的推理。
14.歸納推理的思維過程是什么?答:大致如圖:
實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論
15.歸納推理的'特點有哪些?
答:①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現象,歸納所得的結論是尚屬未知的一般現象。
②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質,結論是否真實,還需經過邏輯證明和實驗檢驗,因此,它不能作為數學證明的工具。③歸納推理是一種具有創造性的推理,通過歸納推理的猜想,可以作為進一步研究的起點,幫助人們發現問題和提出問題。
16.類比推理的定義是什么?
答:根據兩個(或兩類)對象之間在某些方面的相似或相同,推演出它們在其他方面也相似或相同,這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。
17.類比推理的思維過程是什么?答:
觀察、比較聯想、類推推測新的結論
18.演繹推理的定義是什么?
答:演繹推理是根據已有的事實和正確的結論(包括定義、公理、定理等)按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。
19.演繹推理的主要形式是什么?答:三段論
20.“三段論”可以表示為什么?
答:①大前題:M是P②小前提:S是M③結論:S是P。
其中①是大前提,它提供了一個一般性的原理;②是小前提,它指出了一個特殊對象;③是結論,它是根據一般性原理,對特殊情況做出的判斷。
21.什么是直接證明?它包括哪幾種證明方法?
答:直接證明是從命題的條件或結論出發,根據已知的定義、公理、定理,直接推證結論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。
22.什么是綜合法?
答:綜合法就是“由因導果”,從已知條件出發,不斷用必要條件代替前面的條件,直至推出要證的結論。
23.什么是分析法?答:分析法就是從所要證明的結論出發,不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子,可稱為“由果索因”。
要注意敘述的形式:要證A,只要證B,B應是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結合使用,不要將它們割裂開。
24什么是間接證明?
答:即反證法:是指從否定的結論出發,經過邏輯推理,導出矛盾,證實結論的否定是錯誤的,從而肯定原結論是正確的證明方法。
25.反證法的一般步驟是什么?
答:(1)假設命題結論不成立,即假設結論的反面成立;
(2)從假設出發,經過推理論證,得出矛盾;
(3)從矛盾判定假設不正確,即所求證命題正確。
26常見的“結論詞”與“反義詞”有哪些?原結論詞反義詞原結論詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個一個也沒有至少有兩個至多有n-1個至少有n+1個對任意x不成立p或qp且q反義詞存在x使成立p且qp或q對所有的x都成立存在x使不成立
27.反證法的思維方法是什么?答:正難則反....
28.如何歸繆矛盾?
答:(1)與已知條件矛盾;(2)與已有公理、定理、定義矛盾;
(3)自相矛盾.
29.數學歸納法(只能證明與正整數有關的數學命題)的步驟是什么?nnN答:(1)證明:當n取第一個值時命題成立;00
(2)假設當n=k(k∈N*,且k≥n0)時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立由(1),(2)可知,命題對于從n0開始的所有正整數n都正確注:常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。
數學選修2-2數系的擴充和復數的概念知識點必記
30.復數的概念是什么?答:形如a+bi的數叫做復數,其中i叫虛數單位,a叫實部,b叫虛部,數集
Cabi|a,bR叫做復數集。
規定:abicdia=c且,強調:兩復數不能比較大小,只有相等或不相b=d等。實數(b0)
31.數集的關系有哪些?答:復數Z一般虛數(a0)
虛數(b0)純虛數(a0)
32.復數的幾何意義是什么?答:復數與平面內的點或有序實數對一一對應。
33.什么是復平面?
答:根據復數相等的定義,任何一個復數zabi,都可以由一個有序實數對
(a,b)唯一確定。由于有序實數對(a,b)與平面直角坐標系中的點一一對應,因此
復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應。這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面,x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數,除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數。
34.如何求復數的模(絕對值)?答:與復數z對應的向量OZ的模r叫做復數zabi的模(也叫絕對值)記作z或abi。由模的定義可知:zabia2b2
35.復數的加、減法運算及幾何意義是什么?
答:①復數的加、減法法則:z1abi與z2cdi,則z1z2ac(bd)i。
注:復數的加、減法運算也可以按向量的加、減法來進行。
②復數的乘法法則:(abi)(cdi)acbdadbci。
③復數的除法法則:
abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做實數化因子
36.什么是共軛復數?
答:兩復數abi與abi互為共軛復數,當b0時,它們叫做共軛虛數。
高中導數知識點總結4
一、求導數的方法
(1)基本求導公式
(2)導數的四則運算
(3)復合函數的導數
設在點x處可導,y=在點處可導,則復合函數在點x處可導,且即
二、關于極限
1、數列的極限:
粗略地說,就是當數列的項n無限增大時,數列的項無限趨向于A,這就是數列極限的描述性定義。記作:=A。如:
2、函數的極限:
當自變量x無限趨近于常數時,如果函數無限趨近于一個常數,就說當x趨近于時,函數的極限是,記作
三、導數的概念
1、在處的導數。
2、在的'導數。
3。函數在點處的導數的幾何意義:
函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率,
即k=,相應的切線方程是
注:函數的導函數在時的函數值,就是在處的導數。
例、若=2,則=()A—1B—2C1D
四、導數的綜合運用
(一)曲線的切線
函數y=f(x)在點處的導數,就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率。由此,可以利用導數求曲線的切線方程。具體求法分兩步:
(1)求出函數y=f(x)在點處的導數,即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率k=
(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下,求得切線方程為x。
高中導數知識點總結5
一、理解并牢記導數定義
導數定義是考研數學的出題點,大部分以選擇題的形式出題,01年數一考一道選題,考查在一點處可導的充要條件,這個并不會直接教材上的導數充要條件,他是變換形式后的,這就需要同學們真正理解導數的定義,要記住幾個關鍵點:
(1)在某點的領域范圍內。
(2)趨近于這一點時極限存在,極限存在就要保證左右極限都存在,這一點至關重要,也是01年數一考查的點,我們要從四個選項中找出表示左導數和右導數都存在且相等的選項。
(3)導數定義中一定要出現這一點的函數值,如果已知告訴等于零,那極限表達式中就可以不出現,否就不能推出在這一點可導,請同學們記清楚了。
(4)掌握導數定義的不同書寫形式。
二、導數定義相關計算
已知某點處導數存在,計算極限,這需要掌握導數的廣義化形式,還要注意是在這一點處導數存在的前提下,否則是不一定成立的。
三、導數、可微與連續的關系
函數在一點處可導與可微是等價的,可以推出在這一點處是連續的,反過來則是不成立的,相信這一點大家都很清楚,而我要提醒大家的是可導推連續的逆否命題:函數在一點處不連續,則在一點處不可導。這也常常應用在做題中。
四、導數的計算
導數的計算可以說在每一年的考研數學中都會涉及到,而且形式不一,考查的方法也不同。要能很好的掌握不同類型題,首先就需要我們把基本的導數計算弄明白:
(1)基本的求導公式。指數函數、對數函數、冪函數、三角函數和反三角函數這些基本的初等函數導數都是需要記住的,這也告訴我們在對函數變形到什么形式的時候就可以直接代公式,也為后面學習不定積分和定積分打基礎。
(2)求導法則。求導法則這里無非是四則運算,復合函數求導和反函數求導,要求四則運算記住求導公式;復合函數要會寫出它的復合過程,按照復合函數的求導法則一次求導就可以了,也是通過這個復合函數求導法則,我們可求出很多函數的導數;反函數求導法則為我們開辟了一條新路,建立函數與其反函數之間的導數關系,從而也使我們得到反三角函數求導公式,這些公式都將要列為基本導數公式,也要很好的理解并掌握反函數的求導思路,在13年數二的考試中相應的考過,請同學們注意。
(3)常見考試類型的求導。通常在考研中出現四種類型:冪指函數、隱函數、參數方程和抽象函數。這四種類型的求導方法要熟悉,并且可以解決他們之間的綜合題,有時候也會與變現積分求導結合,94年,96年,08年和10年都查了參數方程和變現積分綜合的題目。
五、高階導數計算
高階導數的計算在歷年考試出現過,比如03年,07年,10年,都以填空題考查的,00年是一道解答題。需要同學們記住幾個常見的高階導數公式,將其他函數都轉化成我們這幾種常見的函數,代入公式就可以了,也有通過求一階導數,二階,三階的方法來找出他們之間關系的。這里還有一種題型就是結合萊布尼茨公式求高階導數的,00年出的題目就是考察的這兩個知識點。
導數公式大全
1.y=c(c為常數) y'=0
2.y=x^n y'=nx^(n-1)
3.y=a^x y'=a^xlna
y=e^x y'=e^x
4.y=logax y'=logae/x
y=lnx y'=1/x
5.y=sinx y'=cosx
6.y=cosx y'=-sinx
7.y=tanx y'=1/cos^2x
8.y=cotx y'=-1/sin^2x
9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2
10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2
11.y=arctanx y'=1/1+x^2
12.y=arccotx y'=-1/1+x^2
一、求導數的方法
(1)基本求導公式
(2)導數的四則運算
(3)復合函數的導數
設在點x處可導,y=在點處可導,則復合函數在點x處可導,且即
二、關于極限
.1.數列的極限:
粗略地說,就是當數列的項n無限增大時,數列的項無限趨向于A,這就是數列極限的描述性定義。記作:=A。如:
2函數的極限:
當自變量x無限趨近于常數時,如果函數無限趨近于一個常數,就說當x趨近于時,函數的極限是,記作
三、導數的概念
1、在處的導數.
2、在的導數.
3.函數在點處的導數的幾何意義:
函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率,即k=,相應的切線方程是
注:函數的導函數在時的函數值,就是在處的導數。
例、若=2,則=()A-1B-2C1D
四、導數的綜合運用
(一)曲線的切線
函數y=f(x)在點處的導數,就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率.由此,可以利用導數求曲線的切線方程.具體求法分兩步:
(1)求出函數y=f(x)在點處的導數,即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率k=;
(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下,求得切線方程為_。
第一、求函數定義域題忽視細節函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍,考生想要在考場上準確求出定義域,就要根據函數解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來,列成不等式組,不等式組的解集就是該函數的定義域。在求一般函數定義域時,要注意以下幾點:分母不為0;偶次被開放式非負;真數大于0以及0的0次冪無意義。函數的定義域是非空的數集,在解答函數定義域類的題時千萬別忘了這一點。復合函數要注意外層函數的定義域由內層函數的值域決定。
第二、帶絕對值的函數單調性判斷錯誤帶絕對值的函數實質上就是分段函數,判斷分段函數的單調性有兩種方法:第一,在各個段上根據函數的解析式所表示的函數的單調性求出單調區間,然后對各個段上的單調區間進行整合;第二,畫出這個分段函數的圖象,結合函數圖象、性質能夠進行直觀的判斷。函數題離不開函數圖象,而函數圖象反應了函數的所有性質,考生在解答函數題時,要第一時間在腦海中畫出函數圖象,從圖象上分析問題,解決問題。對于函數不同的單調遞增(減)區間,千萬記住,不要使用并集,指明這幾個區間是該函數的單調遞增(減)區間即可。
第三、求函數奇偶性的常見錯誤求函數奇偶性類的題最常見的錯誤有求錯函數定義域或忽視函數定義域,對函數具有奇偶性的前提條件不清,對分段函數奇偶性判斷方法不當等等。判斷函數的奇偶性,首先要考慮函數的定義域,一個函數具備奇偶性的必要條件是這個函數的定義域區間關于原點對稱,如果不具備這個條件,函數一定是非奇非偶的函數。在定義域區間關于原點對稱的前提下,再根據奇偶函數的定義進行判斷。在用定義進行判斷時,要注意自變量在定義域區間內的任意性。
第四、抽象函數推理不嚴謹很多抽象函數問題都是以抽象出某一類函數的共同“特征”而設計的,在解答此類問題時,考生可以通過類比這類函數中一些具體函數的性質去解決抽象函數。多用特殊賦值法,通過特殊賦可以找到函數的不變性質,這往往是問題的突破口。抽象函數性質的證明屬于代數推理,和幾何推理證明一樣,考生在作答時要注意推理的嚴謹性。每一步都要有充分的條件,別漏掉條件,更不能臆造條件,推理過程層次分明,還要注意書寫規范。
第五、函數零點定理使用不當若函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是連續不斷的一條曲線,且有f(a)f(b)<>
第六、混淆兩類切線曲線上一點處的切線是指以該點為切點的曲線的切線,這樣的切線只有一條;曲線的過一個點的切線是指過這個點的曲線的所有切線,這個點如果在曲線上當然包括曲線在該點處的切線,曲線的過一個點的切線可能不止一條。因此,考生在求解曲線的切線問題時,首先要區分是什么類型的切線。
第七、混淆導數與單調性的關系一個函數在某個區間上是增函數的這類題型,如果考生認為函數的導函數在此區間上恒大于0,很容易就會出錯。解答函數的單調性與其導函數的關系時一定要注意,一個函數的.導函數在某個區間上單調遞增(減)的充要條件是這個函數的導函數在此區間上恒大(小)于等于0,且導函數在此區間的任意子區間上都不恒為零。
第八、導數與極值關系不清考生在使用導數求函數極值類問題時,容易出現的錯誤就是求出使導函數等于0的點,卻沒有對這些點左右兩側導函數的符號進行判斷,誤以為使導函數等于0的點就是函數的極值點,往往就會出錯,出錯原因就是考生對導數與極值關系沒搞清楚。可導函數在一個點處的導函數值為零只是這個函數在此點處取到極值的必要條件,在使用導數求函數極值時,一定要對極值點進行仔細檢查。
1.導數的定義:在點處的導數記作.
2.導數的幾何物理意義:曲線在點處切線的斜率
①k=f/(x0)表示過曲線y=f(x)上P(x0,f(x0))切線斜率。V=s/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。
3.常見函數的導數公式:①;②;③;
⑤;⑥;⑦;⑧。
4.導數的四則運算法則:
5.導數的應用:
(1)利用導數判斷函數的單調性:設函數在某個區間內可導,如果,那么為增函數;如果,那么為減函數;
注意:如果已知為減函數求字母取值范圍,那么不等式恒成立。
(2)求極值的步驟:
①求導數;
②求方程的根;
③列表:檢驗在方程根的左右的符號,如果左正右負,那么函數在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么函數在這個根處取得極小值;
(3)求可導函數值與最小值的步驟:
ⅰ求的根;ⅱ把根與區間端點函數值比較,的為值,最小的是最小值。
導數與物理,幾何,代數關系密切:在幾何中可求切線;在代數中可求瞬時變化率;在物理中可求速度、加速度。學好導數至關重要,一起來學習高二數學導數的定義知識點歸納吧!
導數是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時,函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在,a即為在x0處的導數,記作f'(x0)或df(x0)/dx。
導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話,函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中,物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。
不是所有的函數都有導數,一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在,則稱其在這一點可導,否則稱為不可導。然而,可導的函數一定連續;不連續的函數一定不可導。
對于可導的函數f(x),x?f'(x)也是一個函數,稱作f(x)的導函數。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上,求導就是一個求極限的過程,導數的四則運算法則也來源于極限的四則運算法則。反之,已知導函數也可以倒過來求原來的函數,即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作,它們都是微積分學中最為基礎的概念。
設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義,當自變量x在x0處有增量Δx,(x0+Δx)也在該鄰域內時,相應地函數取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);如果Δy與Δx之比當Δx→0時極限存在,則稱函數y=f(x)在點x0處可導,并稱這個極限為函數y=f(x)在點x0處的導數記為f'(x0),也記作y'│x=x0或dy/dx│x=x0
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